利用者:Yasusushi/sandbox

じゃんけん大会における選出人数の計算式（ほぼ原文ママ）

第3回

今回は16名が選抜されます。 AKB 66名と研究生1名が本選に参加することは確定していますので、SKEからx名，NMBからy名，HKTからz名本選に選出されると本選から選抜される確率は

16/(66+1+x+y+z)

となります。そこで、

16/(66+1+x+y+z) ≒ x/43 ≒ y/31 ≒ z/18

をみたすような整数 x, y， z 　(x < 10 , y < 10 , z < 10)を求めるため、

{ 16/(66+1+x+y+z) - x/43 }² + { 16/(66+1+x+y+z) - y/31 }² + { 16/(66+1+x+y+z) - z/18 }²

が最小となる整数の組(x, y, z)を算出した結果

x=8 , y=6 , z=3

となりました。

よって各グループからの本選出場枠を以下のように決定いたしました。

• SKE48→8
• NMB48→6
• HKT48→3

上記より、じゃんけん大会総参加人数は、各グループ(AKB、SKE、NMB、HKT)の予備戦を勝ち抜いた18名と、AKB48所属メンバー66名、松井珠理奈、渡辺美優紀の合計：86名となります。

第4回

2013じゃんけん大会における，姉妹グループ，ならびに研究生からの勝抜き人数の算出方法について

勝抜き数の決め方として，本戦から選抜メンバーに入れる確率、予備戦から本戦に出場できる確率、各グループ研究生予備戦から予備戦に出場できる確率をほぼ等しくするという条件を設定致しました。

以下にこの問題の解法を説明いたします。

まず現在の出場メンバー数は

• AKB48 兼任メンバーを含む所属メンバー62名、研究生24人
• SKE48 所属メンバー44人、研究生22人
• NMB48 所属メンバー43人、研究生20人
• HKT48 所属メンバー14人、研究生24人

となっています。

そこで、

• SKE48予備戦から本戦に出場できる人数を x
• NMB48予備戦から本戦に出場できる人数を y
• HKT48予備戦から本戦に出場できる人数を z
• AKB48研究生予備戦から本戦に出場できる人数を a
• SKE48研究生予備戦からSKE48予備戦に出場できる人数を s
• NMB48研究生予備戦からNMB48予備戦に出場できる人数を n
• HKT48研究生予備戦からHKT48予備戦に出場できる人数を h

とすると、

(1) 本戦において，選抜メンバーを勝ち取れる確率は 16/(62+x+y+z+a)

(2) SKE48予備戦から本戦に勝ち上がれる確率は x/(44+s)

(3) NMB48予備戦から本戦に勝ち上がれる確率は y/(43+n)

(4) HKT48予備戦から本戦に勝ち上がれる確率は z/(14+h)

(5) AKB48研究生予備戦から本戦に勝ち上がれる確率は a/24

(6) SKE48研究生予備戦からSKE48予備戦に勝ち上がれる確率は s/22

(7) NMB48研究生予備戦からNMB48予備戦に勝ち上がれる確率は n/20

(8) HKT48研究生予備戦からHKT48予備戦に勝ち上がれる確率は h/24

となります。そこで問題の条件をみたす自然数解は、上記の8個の値の分散を最も小さくするものが最適であるとし、それを計算した結果、

x=y=8, z=3, a=s=h=4, n=3

が最適解であることがわかりました。よって

• SKE48予備戦の勝抜き人数を 8
• NMB48予備戦の勝抜き人数を 8
• HKT48予備戦の勝抜き人数を 3
• AKB48研究生予備戦の勝抜き人数を 4
• SKE48研究生予備戦の勝抜き人数を 4
• NMB48研究生予備戦の勝抜き人数を 3
• HKT48研究生予備戦の勝抜き人数を 4

と致します。

上記より、じゃんけん大会総参加人数は、各グループ(AKB、SKE、NMB、HKT)の予備戦を勝ち抜いた23名と、AKB48所属メンバー54名、兼任メンバー8人を加えた合計：85名となります。

第5回

2014じゃんけん大会における，各グループ，ならびに研究生からの本戦出場人数の算出方法について（AKB48 チームA，チームK，チームB，チーム4が本戦からの出場となる場合）

勝抜き数の決め方として

1. 本戦から選抜メンバーに入れる確率と，予備戦から本戦に出場できる確率と，各グループ研究生予備戦から予備戦に出場できる確率をほぼ等しくすること．ただし AKB 研究生予備戦から本戦に出場できるメンバーを1とする．
2. AKB チーム8予備戦から本戦に出場できる確率を上記の1/2とすること．

という条件を設定致しました．

以下にこの問題の解法を説明いたします．

まず現在の出場メンバー数は

• AKB チームA，チームK，チームB，チーム4所属メンバー 89人、チーム8所属メンバー 47人、研究生 2人
• SKE 所属メンバー 54人、研究生 8人
• NMB 所属メンバー 46人、研究生 12人
• HKT 所属メンバー 36人、研究生 7人

となっています．

そこで，

• SKE 予備戦から本戦に出場できる人数を x，
• NMB 予備戦から本戦に出場できる人数を y，
• HKT 予備戦から本戦に出場できる人数を z，
• AKB チーム8予備戦から本戦に出場できる人数を a，
• SKE 研究生予備戦から SKE 予備戦に出場できる人数を s，
• NMB 研究生予備戦から NMB 予備戦に出場できる人数を n，
• HKT 研究生予備戦から HKT 予備戦に出場できる人数を h

とすると，

(1) 本戦において，選抜メンバーを勝ち取れる確率は 16/(89+1+x+y+z+a)

(2) SKE 予備戦から本戦に勝ち上がれる確率は x/(54+s)

(3) NMB 予備戦から本戦に勝ち上がれる確率は y/(46+s)

(4) HKT 予備戦から本戦に勝ち上がれる確率は z/(36+h)

(5) AKB チーム8予備戦から本戦に勝ち上がれる確率は a/47

(6) SKE 研究生予備戦から SKE 予備戦に勝ち上がれる確率は s/8

(7) NMB 研究生予備戦から NMB 予備戦に勝ち上がれる確率は n/12

(8) HKT 研究生予備戦から HKT 予備戦に勝ち上がれる確率は h/7

となります．そこで問題の条件をみたす自然数解は，

16/(89+1+x+y+z+a), x/(54+s), y/(46+s), z/(36+h), (a/47)×2, s/8, n/12, h/7

の8個の値の分散を最も小さくするものが最適であるとし，それを計算した結果，

x=8, y=7, z=5, a=3, s=1, n=2, h=1

が最適解であることがわかりました．よって

• SKE 予備戦から本戦に出場できる人数を8，
• NMB 予備戦から本戦に出場できる人数を7，
• HKT 予備戦から本戦に出場できる人数を5，
• AKB チーム8予備戦から本戦に出場できる人数を3，
• AKB 研究生予備戦から本戦に出場できる人数を1，
• SKE 研究生予備戦から SKE 予備戦に出場できる人数を1，
• NMB 研究生予備戦から NMB 予備戦に出場できる人数を2，
• HKT 研究生予備戦から HKT 予備戦に出場できる人数を1

といたします．

第6回

AKB48じゃんけん大会2015 姉妹グループ，ならびに研究生からの本戦出場人数の算出方法について

1. 本戦参加者がベスト16に進出できる確率を基準とし，
   ・予備戦から本戦に出場できる確率
   ・各グループ研究生予備戦から予備戦に出場できる確率
   をそれにほぼ等しくすることをコンセプトに，各予備戦での勝抜き数を決定します。
2. NGT48 については，メンバー数が少ないため，選出数を1とします．
   • NGT48 のトーナメント表：[北原里英-[西潟茉莉奈-荻野由佳]]→本戦出場

以上の条件をもとに，選出数計算の説明を行います．

まず現時点で出場する予定のメンバー数ですが，春の人事異動に基づいた新チームでの参加となり、

• AKB48 新チームA，新チームK，新チームB，新チーム4 正規メンバー84人（兼任含む），チーム8メンバー 44人（兼任を除く），AKB48ドラフト研究生 7人，
• SKE48 正規メンバー 48人，SKE48研究生 20人，
• NMB48 正規メンバー 48人，NMB48研究生 7人，
• HKT48 正規メンバー 34人，HKT48研究生 10人，

となっています。（卒業発表致しました AKB48 小林茉里奈,休業中の NMB48 上枝恵美加は、不参加となります。）

そこで，

• SKE48 予備戦から本戦に出場できる人数を s，
• NMB48 予備戦から本戦に出場できる人数を n，
• HKT48 予備戦から本戦に出場できる人数を h，
• AKB48 チーム8予備戦から本戦に出場できる人数を a，
• AKB48 研究生予備戦から本戦に出場できる人数を b，
• SKE48 研究生予備戦から SKE48 予備戦に出場できる人数を x，
• NMB48 研究生予備戦から NMB48 予備戦に出場できる人数を y，
• HKT48 研究生予備戦から HKT48 予備戦に出場できる人数を z

としますと，

(1) 本戦参加者がベスト16に入る確率は p = 16/(84+s+n+h+a+b+1)

(2) SKE48 予備戦から本戦に進出できる確率は p[s] = s/(48+x)

(3) NMB48 予備戦から本戦に進出できる確率は p[n] = n/(48+y)

(4) HKT48 予備戦から本戦に進出できる確率は p[h] = h/(34+z)

(5) AKB48 チーム8予備戦から本戦に進出できる確率は p[a] = a/44

(6) AKB48 研究生予備戦から本戦に進出できる確率は p[b] = b/7

(7) SKE48 研究生予備戦から SKE 予備戦に進出できる確率は p[x] = x/20

(8) NMB48 研究生予備戦から NMB 予備戦に進出できる確率は p[y] = y/7

(9) HKT48 研究生予備戦から HKT 予備戦に進出できる確率は p[z] = z/10

となります．

そこで問題の条件をみたす自然数解 ( s, n, h, a, b, x, y, z ) は，

m = (p + p_s + p_n + p_h + p_a + p_b + p_x + p_y + p_z) / 9,

D = (p - m)² + Σ_{i=s,n,h,a,b,x,y,z}(p_i - m)²

における D の値を最も小さくするものが最適だと考えられます．

それらを踏まえ，計算した結果，

s = 7, n = 7, h = 5, a = 6, b = 1, x = 3, y = 1, z = 1

が最適解であることがわかりました．

よって

• SKE48 予備戦から本戦に出場できる人数を7，
• NMB48 予備戦から本戦に出場できる人数を7，
• HKT48 予備戦から本戦に出場できる人数を5，
• NGT48 予備戦から本戦に出場できる人数を1，
• AKB48 チーム8予備戦から本戦に出場できる人数を6，
• AKB48 研究生予備戦から本戦に出場できる人数を1，
• SKE48 研究生予備戦から SKE48 予備戦に出場できる人数を3，
• NMB48 研究生予備戦から NMB48 予備戦に出場できる人数を1，
• HKT48 研究生予備戦から HKT48 予備戦に出場できる人数を1

といたします．

本戦出場メンバーは計111名となります．

ペナントレース

2014年AKB48グループペナントレースの順位決定方式

2014年4月22日から10月31日までに行われる、劇場公演、劇場盤握手会、選抜総選挙といったイベントに対して各チームを採点し、獲得した勝点の合計が多いチームを上位として、ペナントレースの順位を決定する。

ただし、勝点が同一の場合は、次の各号の順位により決定する。

1. 劇場公演倍率による勝点
2. AKB48劇場盤握手会による勝点
3. シングル選抜総選挙による勝点

チームに付与される勝点は、以下の採点基準に基づいて決定される。

劇場公演倍率による勝点算出方法

1. 採点対象となる公演は、4月22日以降に行われる各チームの初回公演の次の公演以降とする。ただし女性限定公演など、限定公演は除く。
2. 公演を開催するごとに勝点2点を付与する。
3. 各公演に出演するメンバーの組み合わせによって算出された基準倍率に対し、有料会員(Mobile会員、二本柱の会)枠での公演申込倍率がそれ以上になった公演にはさらに勝点5点を付与する。

公演の基準倍率算出について

各公演の基準倍率は、昨年の公演における申込倍率と出演者したメンバーとの対応データを回帰分析した結果から予測される倍率を算出し、その値を基準倍率とする。

回帰分析について

公演の申込倍率を y 、メンバー k の出演状況を x_k で表し、

x_k = 1（出演した）, 0（出演していない）

と定義する。このとき、

y = a₀ Π_k=1～n a_k^x_k = a₀×a₁^x₁×a₂^x₂×…×a_n^x_n

という回帰式モデルに対する回帰分析を行うことで、a_k (k =0,1,…, n)を推測し、対象の公演に出演予定のメンバーのデータをその回帰式に代入することによって基準倍率を算出する。

また生誕祭や、土日公演に関しては、その因子を考慮した係数を乗じた値を基準倍率として発表する。

AKB48劇場盤握手会による勝点算出方法

1. 対象となるAKB48劇場盤握手会は4月22日以降に開催されたAKB48劇場盤握手会とする。
2. 4月22日以降、最も早く開催された日程のAKB48劇場盤握手会に参加したメンバーに付与される勝点は、個別握手券の販売枚数を以下の規則によって換算して決定する。
   • 販売上限を100%としたとき、
     • 95%以上～100%以下：1.00
     • 90%以上～95%未満：0.95
     • 85%以上～90%未満：0.90
     • 80%以上～85%未満：0.85
     • 75%以上～80%未満：0.80
     • 70%以上～75%未満：0.75
     • 65%以上～70%未満：0.70
     • 60%以上～65%未満：0.65
     • 55%以上～60%未満：0.60
     • 50%以上～55%未満：0.55
     • 45%以上～50%未満：0.50
     • 40%以上～45%未満：0.45
     • 35%以上～40%未満：0.40
     • 30%以上～35%未満：0.35
     • 25%以上～30%未満：0.30
     • 20%以上～25%未満：0.25
     • 15%以上～20%未満：0.20
     • 10%以上～15%未満：0.15
     • 5%以上～10%未満：0.10
     • 0%以上～5%未満：0.05
   • チームの勝点はメンバーが獲得した勝点の合計点とする。
3. 2回目以降の日程の劇場盤握手会に参加し、その日の販売枚数が直近の日程での販売枚数から増加したメンバーに付与される勝点は、前項の採点基準による勝点に、前回からの販売枚数の増加率を乗じた値とする。
   • 例： 直近の日程での販売枚数が 100枚 で、今日程での販売枚数が150枚 (勝点 0.8に相当)である場合、付与される勝点は

     0.8 × (150/100) = 1.2
     となる。

4. 2回目以降の日程の劇場盤握手会に参加し、直近の日程での販売枚数が上限に達し、今日程でも上限に達したメンバーに付与される勝点は、直近の日程に獲得した勝点に、1.1を乗じた値とする。
5. 2回目以降の日程の劇場盤握手会に参加し、第3項、第4項に該当しないメンバーに付与される勝点は、第2項の採点基準によって決定する。
6. 兼任のメンバーの勝点は、両チームに付与される。

選抜総選挙による勝点

1. 2014年6月7日に開催される「AKB48 37thシングル選抜総選挙」を対象とする。
2. 立候補メンバーの得票数からドント方式によって下記の手順によって勝点を付与する。
   1. 各メンバーの得票数を1.2.3. ...で割る。
   2. 1.で計算された商の多い順に勝点1点を付与していき、総選挙順位80位のメンバーに初めて勝点1点が付与されるまで続ける。
   • チームの勝点は、メンバーが獲得した勝点の合計点とする。
3. 兼任のメンバーの勝点は、両チームに付与される。

（原文では例が示されているが省略）

注意していただきたいのは、通常の国政選挙における政党に対応するのは「チーム」ではなく、「個人」となっているところである。

監修：統計学者 鳥越規央

解説

劇場公演によるもの

1公演につき無条件で2点、基準倍率以上なら5点追加で7点。

• この基準倍率について、メンバーkに対して「x_k = 1（出演した）, 0（出演していない）」と定義されており、これを用いると「a_k^x_k = a_k¹ = a_k（出演した）, a_k⁰ = 1（出演していない）」と計算できる。
• 申し込み倍率yを「y = a₀×a₁^x₁×a₂^x₂×…×a_n^x_n」としているが、この数式の意味は以下の通り。以下、架空のメンバー（AKB49～恋愛禁止条例～の登場人物）で解説する。
  • 吉永寛子、岡部愛、浦川みのり の3人が出演する劇場公演の倍率が120倍、吉永寛子、岡部愛 の2人が出演する劇場公演の倍率が100倍であったとすると、
    • 120 = a₀×a_吉永×a_岡部×a_浦川
    • 100 = a₀×a_吉永×a_岡部
  • この式から、a_浦川 = 1.2 と計算できる。同様に、a₀ = 50, a_岡部 = 1.25 と計算できたとすると、浦川みのり、岡部愛の2人が出演する劇場公演の基準倍率は
    • a₀×a_浦川×a_岡部 = 75
  • よって、実際の倍率が75倍以上であれば7点、75倍未満なら2点がチームに加算される。
• 実際の劇場公演では同じメンバー構成でも倍率が異なることもあり、この例のように正確に計算できるわけではないので、回帰分析という統計学的手法を用いてそれぞれの値を推測することになる。

握手会によるもの

個別握手券の販売上限枚数を1としたときの販売枚数の割合がメンバーの勝点となる（厳密には説明文の通り0.05単位で切り上げられる）。

• なお、2回目以降の日程では、以下の場合に勝点が上乗せされる。
  • 握手券の販売枚数が前回より増加した場合、販売枚数の割合 × 増加率 が勝点となる。
  • 前回と今回の両方とも販売上限枚数に達した場合、前回獲得した勝点 × 1.1 が勝点となる。
• このルールに従うと、以下のような勝点が付与されることになる。（このルールの解釈は一定しておらず、実際には異なる基準で運用された可能性がある。）
  • 以下、各回の販売上限を10,000枚とする。
  • 1回目の個別握手会で8,000枚（上限の80%）販売した場合、勝点0.85獲得
  • 2回目の個別握手会で9,000枚（上限の90%）販売した場合、増加率を加味した勝点0.95×(90/80) = 1.07獲得
  • 3回目の個別握手会で10,000枚（上限の100%）販売した場合、前回の勝点1.07×1.1 = 1.18獲得
  • 4回目の個別握手会で10,000枚（上限の100%）販売した場合、前回の勝点1.18×1.1 = 1.29獲得

メンバーが獲得した勝点の合計点がチームの勝点となる。兼任メンバーの勝点は両チームに付与される。

選抜総選挙によるもの

国政選挙や地方選挙で用いられているのと同じドント方式で定義されている。

• 国政選挙における「政党」とペナントレースにおける「メンバー」、国政選挙における「議席数」とペナントレースにおける「勝点」がそれぞれ対応している。
• 選挙の際には全体の議席数があらかじめ決められているのに対し、ペナントレースでは全体の合計勝点が決められているわけではなく「総選挙順位80位のメンバーに初めて勝点1点が付与されるまで続ける」となっている。
• このため、実質的には「そのメンバーの得票数を80位のメンバーの得票数で割った値を小数点以下切り捨てたもの」が各メンバーの勝点となる。

メンバーが獲得した勝点の合計点がチームの勝点となる。兼任メンバーの勝点は両チームに付与される。